der GRADIENT

der GRADIENT

Beitragvon Michi » 09.09.2007, 12:27

Der Gradient ist ein mathematischer Operator, der auf ein Skalarfeld angewandt werden kann. Hierdurch erhält man ein Vektorfeld, welches die Änderungsrate und die Richtung der größten Änderung des Skalarfeldes angibt. Der Gradient ist damit eine Verallgemeinerung der Ableitung für Funktionen von mehreren Variablen.

Interpretiert man beispielsweise die Höhenkarte einer Landschaft als eine Funktion z(x, y), die jedem Ort die Höhe an dieser Stelle zuordnet, dann ist der Gradient von z an einer Stelle (x, y) ein Vektor, der in die Richtung des steilsten Anstieges zeigt, und dessen Länge ein Maß für die Steilheit ist.

Der Gradient zeigt dabei in die Richtung der Normalen der jeweiligen Fläche, auf der die Werte des Skalarfeldes konstant sind (s.a. Niveaufläche). Dabei ist der Gradient so orientiert, dass er in die Richtung wachsender Funktionswerte des Skalarfeldes zeigt. Der Betrag des Gradienten stimmt außerdem mit der Richtungsableitung der Funktion des Skalarfeldes in Normalenrichtung überein.

Der Gradient lässt sich formal als Ableitungsoperator interpretieren, und gehört zusammen mit den anderen Ableitungsoperatoren Divergenz und Rotation der Vektoranalysis an, einem Untergebiet der mehrdimensionalen Analysis.
Kann mir mal bitte einer das Wasser reichen?
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